Подпространства. Действия с подпространствами

Непустое подмножество $M$ векторного пространства $V$ над полем $F$ называется ***подпространством*** пространства $V$, если оно замкнуто относительно операций: 1) $\forall{x, y\in M}~~ x+y \in M$ 2) $\forall{x \in M}~~ \forall{t\in F}~~ tx\in M$

Нулевой вектор содержится в любом подпространстве $M$ пространства $V$.

Если $x$ – произвольный вектор из $M$, то, по условию 2) из определения подпространства, $\mathbf{0} = 0 · x \in M$.

Множество всех линейных комбинаций векторов $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ является наименьшим подпространством, содержащим все вектора $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, и называется ***линейной оболочкой*** $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. (обозначается $<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$)

Проверим каждое из утверждений. $<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$ - подпространство Пусть $x=s_{1}a_{1}+s_{2}a_{2}+..+s_{n}a_{n}$, $y=t_{1}a_{1}+t_{2}a_{2}+\dots+t_{n}a_{n}$ Тогда: $$x+y=(t_{1}+s_{1})a_{1}+(t_{2}+s_{2})a_{2}+...+(t_{n}+s_{n})a_{n}$$ И для произвольного $\gamma \in F$: $$\gamma x=\gamma s_{1}a_{1}+\gamma s_{2}a_{2}+..+\gamma s_{n}a_{n}$$ $<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$ - наименьшее подпространство Пусть $M$ – подпространство пространства $V$, содержащее вектора $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. По определению подпространства любая линейная комбинация векторов $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ лежит в $M$. Следовательно, $<a_{1}, a_{2},\dots, a_{n}> ~\subseteq M$, а значит минимальность доказана. $\square$

Если $M$ подпространство в $V$, то $\mathrm{dim}~M\leq \mathrm{dim}~V$ и $\mathrm{dim}~V = \mathrm{dim}~M \iff M=V$

Если $M$ или $V$ – нулевое пространство, то оба утверждения предложения выполняются тривиальным образом. Будем поэтому считать, что $M$ и $V$ – ненулевые пространства. Пусть $\mathrm{dim}~M = k$, $\mathrm{dim}~V = n$. Неравенство $k \leq n$ следует из того, что базис $M$ – это линейно независимая система в $V$, а любую линейно независимую систему векторов из $V$ можно дополнить до базиса $V$ по теореме о продолжении. При этом для дополнения нужно $n − k$ векторов. Поэтому если $n = k$, то базис $M$ уже является базисом $V$ , т.е. $M = V$ . Обратное утверждение очевидно.

***Пересечение подпространств*** $M_{1}\cap M_{2} := \{x ~|~ x \in M_{1} \land x \in M_{2}\}$ ***Сумма подпространств*** $M_{1}$ и $M_{2}$ – это множество $M_{1} + M_{2}$ всех сумм векторов из $M_{1}$ с векторами из $M_{2}$: $M_{1}+M_{2}:= \{x_{1} + x_{2} ~|~ x_{1} \in M_{1} \land x_{2} \in M_{2}\}$

Если $M_{1}$ и $M_{2}$ подпространства в $V$, то и $M_{1}+M_{2}$, и $M_{1}\cap M_{2}$ также являются подпространствами в $V$.

По замечанию о нулевом векторе каждое из подпространств $M_{1}$ и $M_{2}$ содержит нулевой вектор. Из чего следует, что $\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{0} \in M_{1}+M_{2}$ и $\mathbf{0}\in M_{1}\cap M_{2}$. В частности, $M_{1}$ и $M_{2}$ непустые. Возьмем произвольные $x,y\in M_{1}+M_{2},~t\in F$. Тогда $x=x_{1}+x_{2}$ и $y=y_{1}+y_{2}$ для некоторых $x_{1},y_{1}\in M_{1}$ и $x_{2},y_{2}\in M_{2}$. Учитывая, что $M_{1}$ и $M_{2}$ подпространства: $$x+y=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\in M_{1}+M_{2}$$ $$tx=t(x_{1}+x_{2})=tx_{1}+tx_{2}\in M_{1}+M_{2}$$ из чего следует, что $M_{1}+M_{2}$ подпространство в $V$ Пусть $x,y\in M_{1}\cap M_{2},t\in F$. Тогда $x,y\in M_{1} \land x,y\in M_{2}$. Учитывая, что $M_{1}$ и $M_{2}$ подпространства в $V$: $$x+y\in M_{1} \land x+y\in M_{2} \implies x+y \in M_{1}\cap M_{2}$$ $$tx\in M_{1} \land tx \in M_{2}\implies tx \in M_{1}\cap M_{2}$$ т.е. $M_{1}\cap M_{2}$ подпространство в $V$. $\square$

Если $M_{1}$ и $M_{2}$ – подпространства пространства $V$, то $M_{1} + M_{2}$ – наименьшее подпространство в $V$, содержащее $M_{1}$ и $M_{2}$.

Если $x \in M_{1}$, то $x \in M_{1}+M_{2}$ т.к. $x=\mathbf{0}+x,\mathbf{0}\in M_{2}$. Аналогично для $M_{2}$. Следовательно $M_{1}\subseteq M_{1}+M_{2}$ и $M_{2}\subseteq M_{1}+M_{2}$. Пусть теперь подпространство $M$ содержит и $M_{1}$, и $M_{2}$, а $x \in M_{1} + M_{2}$. Тогда $x = x_{1}+ x_{2}$ для некоторых $x_{1} \in M_{1}$ и $x_{2} \in M_{2}$. Следовательно, $x_{1} \in M$ и $x_{2} \in M$ , откуда $x = x_{1} + x_{2}\in M$ . Итак, $M_{1} + M_{2} \subseteq M$, а значит оно наименьшее.